Question

已知函数f（x）=A?cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解

已知函数f（x）=A?cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数F（x）=f（x）+f（x+π），求F（x）的单调递减区间．

Answer 1

（1）∵f（x）=Acos（ωx+φ），由图象知A＝2，

2π

ω

＝2(

3π

2

+

π

2

)，∴ω＝

1

2

又x＝

π

2

时，即2cos(

1

2

?

π

2

+φ)＝0，∴φ＝kπ+

π

4

(k∈Z)．
∵0＜φ＜π，∴φ＝

π

4

．
∴f(x)＝2cos(

1

2

x+

π

4

)．（6分）
（2）F(x)＝f(x)+f(x+π)＝2cos(

1

2

x+

π

4

)?2sin(

1

2

x+

π

4

)＝?2

2

sin

x

2

要使F（x）单调递减，则y＝sin

x

2

要单调递增．
由2kπ?

π

2

＜

1

2

x＜2kπ+

π

2

(k∈Z)，得(4k?1)π＜x＜(4k+1)π(k∈Z).
∴F（x）的单调递减区间为（4k-1）π，（4k+1）π（k∈Z）．（12分）