Question

（2009?丽水）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动

（2009?丽水）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．（1）填空：菱形ABCD的边长是______、面积是______、高BE的长是245245；（2）探究下列问题：①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位．当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值．

Answer 1

解答：解：（1）菱形ABCD的边长是5，面积是24，高BE的长是

24

5

；

（2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t．
如图1，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得△AQG∽△ABE，
∴

QG

BE

＝

QA

BA

，
∴QG=

48

5

?

48t

25

，
∴S=

1

2

AP?QG=-

24

25

t²+

24

5

t
（

5

2

≤t＜5）．
∵S=-

24

25

（t-

5

2

）²+6（

5

2

≤t＜5）．
∴当t=

5

2

时，S最大值为6．

②要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可．
当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP=4．
以下分两种情况讨论：
第一种情况：当点Q在CB上时，
∵PQ≥BE＞PA，∴只存在点Q₁，使Q₁A=Q₁P．
如图2，过点Q₁作Q₁M⊥AP，垂足为点M，Q₁M交AC于点F，则AM=

1

2

AP=2．
由△AMF∽△AOD∽△CQ₁F，得

FM

AM

＝

Q1F

CQ1

＝

OD

AO

＝

3

4

，
∴FM=

3

2

，
∴Q1F＝MQ1?FM＝

33

10

．
∴CQ₁=

4

3

Q1F=

22

5

．则

1×t

k?t

＝

AP

CQ1

，∴k＝

CQ1

AP

＝

11

10

．

第二种情况：当点Q在BA上时，存在两点Q₂，Q₃，
分别使AP=AQ₂，PA=PQ₃．
i：若AP=AQ₂，如图3，CB+BQ₂=10-4=6．
则

1×t

k?t

＝

AP

CB+BQ2

，
∴k=

CB+BQ2

AP

＝

3

2

．

ii：若PA=PQ₃，如图4，过点P作PN⊥AB，垂足为N，
由△ANP∽△AEB，得

AN

AE

＝

AP

AB

．
∵AE=

AB2?BE2

＝

7

5

，
∴AN=

28

25

．
∴AQ₃=2AN=

56

25

，
∴BC+BQ₃=10-

56

25

＝

194

25

则

1×t

k?t

＝

AP

CB+BQ3

．
∴k＝

CB+BQ3

AP

＝

97

50

．
综上所述，当t=4秒，以所得的等腰三角形APQ
沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为

11

10

或

3

2

或

97

50

．