Question

在数列an中，a1=1/3,a（n+1）=an（n+1）/3n 证明an/n是等比数

在数列an中，a1=1/3,a（n+1）=an（n+1）/3n 证明an/n是等比数列，并求出数列an通项公式an 求数列an前n项和Sn

Answer 1

证明：因为：a(n+1)=(n+1)an/(3n), 方程两边同时除以（n+1）得: a(n+1)/(n+1)=an/(3n);
方程两边同时除以(an/n),得: [a(n+1)/(n+1)]/(an/n)=1/3； 所以，an/n 是等比数列。
a1=1/3, a2=(1+1)*(1/3)/(3*1)=2/9=2a1/3,
a3=(2+1)*(2/9)/(3*2)=1/9=3a1/3^2, a4=(3+1)*1/9)/(3*3)=4a1/3^3,...,an=na1/3^(n-1)
an的通项公式为：an=na1/3^(n-1)，
注意到：a(n+1)=an/3+an/(3n);
Sn=S(n+1)-(n+1)a1/3^n=a1+(1/3)(a1+a2+...+an)+[1-(1/3)^n]/[9(1-1/3)]-(n+1)/3^(n+1)
=1/3+Sn/3+(3^n-1)/(3^n*6)-(n+1)/(3*3^n)=Sn/3+1/2-(2n+3)/(6*3^n)
移项，合并同类项，方程两边同时乘以（3/2），得：
Sn=(3/2)[1/2-(2n+3)/(6*3^n)]=3/4-(2n+3)/[4(3^n)]。

Answer 2

　　证明：记bn=an/n，则b(n+1)=a(n+1)/(n+1)，a1=1/3，所以b1=a1/1=1/3。因为a（n+1）=an（n+1）/3n，所以整理得到a(n+1)/(n+1)=1/3*(an/n)，即b(n+1)/bn=1/3，也就是{an/n}是首项为1/3，公比为1/3的等比数列。
　　解析：等比数列是说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中an中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为常数列。在本题中，要证明一个复合数列为等比数列，那么可以将该复合数列记为一个简单数列bn，然后通过等比数列的性质进行求解。

Answer 3

a(n+1)=an *(n+1)/(3n)
化为： a(n+1)/(n+1)=1/3* an/n
因此{an/n}是公比为1/3 的等比数列，首项为a1/1=1/3
因此an/n=(1/3)^n
得：an=n/3^n

Sn=1/3+2/3²+3/3³+.....+n/3^n
1/3*Sn=1/3+2/3²+.......+(n-1)/3^n+n/3^(n+1)
两式相减： 2/3*Sn=1/3+1/3²+...+1/3^n-n/3^(n+1)
=1/3*(1-1/3^n)/(1-1/3)-n/3^(n+1)
=1/2*(1-1/3^n)-n/3^(n+1)
得：Sn=3/4-(3+2n)/4*3^n