Question

设y=f(x)的定义域为(-a,a),证明必存在(-a,a)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x)

Answer 1

证明设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2,h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
则g(-x)=[f(-x)+f(+x)]/2=[f(x)+f(-x)]/2=g(x)
故g(x)是偶函数
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-[f(x)-f(-x)]/2=-h(x)
故h(x)是奇函数
由g(x)+h(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2=f(x)
则
必存在(-a,a)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x)

Answer 2

是的，求采纳