Question

关于原函数是周期函数,那么它的导数也是周期函数

我知道有一种证明方法即：
f(x+T)=f(x)
两边求导：
f'(x+T)=f'(x)
但我不明白它这边f'(x+T)是对x求导，还是对x+T求导。

Answer 1

当然是对x求导。
[f(x+T)]'=f'(x+T)·(x+T)'=f'(x+T)，这是一个复合函数求导。

追问

f(x+T)=f(x）是数值上相等，两个的方程式是不相等的，那么具体到同一个x上，两者的导数能相等吗

追答

不论是否是周期函数，只要T是常数，f(x+T)的导数都是f'(x+T)。
举个简单例子：f(x)=x²，f'(x)=2x,则f'(x+T)=2(x+T)，
另一方面，f(x+T)=x²+2Tx+T²，对x求导，得 f'(x+T)=2x+2T=2(x+T)。

由于[f(x+T)]'=f'(x+T)
从而对周期函数来说， 由f(x+T)=f(x)，可以得出f'(x+T)=f(x)

追问

我换一句话问吧，就是f(x+T)和f(x）是同一个函数吗

追答

1、对于周期函数，有f(x+T)=f(x)，当然，此时f(x)与f(x+T)是同一函数；
2、对于非周期函数，由于不存在非零常数T，使f(x+T)=f(x)对于定义域内的每一个x都成立，
从而 y=f(x+T)和y=f(x)是两个不同的函数。

追问

就是说对于周期函数，f'(x+T)和f'(x)都是同一函数对同一x求导，故二者相等。

追答

完全正确。

追问

那么对于f(x+T)=f(x) 我们是因为二者相等，故先推出其函数图象相同，再推出它们在同一x上的导数相同。还是因为这二者相等，便直接得出其在同一x上的导数相同？我知道这么问很烦，但我想在逻辑链上有一个清醒的认识。
当然会不会有两函数在同一x上y值相等，但其中一个函数在某一x0上却不可导的情况。

追答

1.对于周期函数来说，没有可能。由于f(x+T)=f(x)，
从而，y=f(x+T)和y=f(x)是同一个函数，而不是两个函数。
2.对于其它函数，可能存在这种情况。
如f(x)=x²+1和g(x)=|x|+1，易知f(0)=g(0)，而f'(0)=1，g'(0)不存在。

Answer 2

事实上呢对x求导，还是对x+T求导结果都一样，以为如果是对x求导那么必然会乘以x+T的导数 而这个刚好是1，所以结果是一样的。但是从意义来讲f'(x+T)该是对x求导，因为这个相当于是对复合函数f(g(x))， g(x)=x+T求导

Answer 3

是对x+T求导。
【过程：
f(x+T)=f(x)， 两边求导：
[f'(x+T)](x+T)'=f'(x)，因(x+T)'=1,
所以f'(x+T)=f'(x)】

追问

这是对x求导，因为你将（x+T)又求导了

Answer 4

对x求导