已知:如图,△ABC是边长3cm的等边三角形
已知:如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动...
已知:如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(2)设四边形APQC的面积为y(cm2),求y与t的关系式;是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二?如果存在,求出相应的t值;不存在,说明理由;
是初二数学,不要超纲解法 展开
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(2)设四边形APQC的面积为y(cm2),求y与t的关系式;是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二?如果存在,求出相应的t值;不存在,说明理由;
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(1)解:因为三角形ABC是等边三角形
所以角B=60度
BP=3-t
BQ=t
因为三角形PBQ是直角三角形
所以角BPQ=90度
角BQP=30度
所以BP=1/2BQ
所以:3-t=(1/2)*t
解得:t=2
所以当t=2s时,三角形PBQ是直角三角形
(2)解:因为三角形PBQ的面积+四边形APQC的面积=三角形ABC的面积
因为三角形ABC的面积=(1/2)*3*3*sin60=9倍根号3/4
三角形PBQ的面积=(1/2)*(3-t)*t*sin60=根号3*(3t-t^2)/4
因为四边形APQC的面积=y
所以y=[9倍根号3/4]-[根号3×(3t-t^2)/4]
=-根号3*t^2/4+3倍根号t/4+9倍根号3/4
不存在四边形APQC的面积是三角形ABC的面积的三分二
因为当四边形APQC的面积=三角形ABC的面积的三分子二时
三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积的三分之一
即:3*t*(3-t)=3*3
t^2-3t+3=0
因为该方程的判别式=9-4×3=-3<0
所以该方程无解
所以不存在四边形的面积是三角形ABC的面积的三分之二
所以角B=60度
BP=3-t
BQ=t
因为三角形PBQ是直角三角形
所以角BPQ=90度
角BQP=30度
所以BP=1/2BQ
所以:3-t=(1/2)*t
解得:t=2
所以当t=2s时,三角形PBQ是直角三角形
(2)解:因为三角形PBQ的面积+四边形APQC的面积=三角形ABC的面积
因为三角形ABC的面积=(1/2)*3*3*sin60=9倍根号3/4
三角形PBQ的面积=(1/2)*(3-t)*t*sin60=根号3*(3t-t^2)/4
因为四边形APQC的面积=y
所以y=[9倍根号3/4]-[根号3×(3t-t^2)/4]
=-根号3*t^2/4+3倍根号t/4+9倍根号3/4
不存在四边形APQC的面积是三角形ABC的面积的三分二
因为当四边形APQC的面积=三角形ABC的面积的三分子二时
三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积的三分之一
即:3*t*(3-t)=3*3
t^2-3t+3=0
因为该方程的判别式=9-4×3=-3<0
所以该方程无解
所以不存在四边形的面积是三角形ABC的面积的三分之二
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1、(1)△PBQ是直角三角形
∵∠B=60°
∴∠BPQ=30°
∴BQ=1/2BP
∵PA=BQ=t
∴BP=3-t
∴t=1/2(3-t)
t=1
(2)∵∠B=60°
∴∠BQP=30°
∴BP=1/2BQ
∵PA=BQ=t
∴BP=3-t
∴(3-t)=1/2t
t=2
∴当为1或2时,△PBQ是直角三角形
2、(1)做△ABC底边BC的高AD
∴∠BAD=90°-60°=30°
∴BD-1/2AB=3/2
∴AD²=AB²-BD²=3²-(3/2)²=27/4
AD=3√3/2
∴S△ABC=1/2BC×AD=1/2×3×3√3/2=9√3/4
做QE⊥BP
∴∠BQE=90°-60°=30°
∴BE=1/2BQ=t/2
∴QE²=BQ²-BE²=t²-(t/2)²=3t²/4
QE=√3t/2
∴S△BPQ=1/2BP×QE=1/2(3-t)×√3t/2=(3√3/4)t-(√3/4)t²
∴y=S△ABC-S△BPQ
=9√3/4-(3√3/4)t+(√3/4)t²
(2)y=2/3×S△ABC=2/3×9√3/4=3√3/2
∴9√3/4-(3√3/4)t+(√3/4)t²=3√3/2
整理:t²-3t+3=0
△=9-12=-3<0
∴无解即不存在
∵∠B=60°
∴∠BPQ=30°
∴BQ=1/2BP
∵PA=BQ=t
∴BP=3-t
∴t=1/2(3-t)
t=1
(2)∵∠B=60°
∴∠BQP=30°
∴BP=1/2BQ
∵PA=BQ=t
∴BP=3-t
∴(3-t)=1/2t
t=2
∴当为1或2时,△PBQ是直角三角形
2、(1)做△ABC底边BC的高AD
∴∠BAD=90°-60°=30°
∴BD-1/2AB=3/2
∴AD²=AB²-BD²=3²-(3/2)²=27/4
AD=3√3/2
∴S△ABC=1/2BC×AD=1/2×3×3√3/2=9√3/4
做QE⊥BP
∴∠BQE=90°-60°=30°
∴BE=1/2BQ=t/2
∴QE²=BQ²-BE²=t²-(t/2)²=3t²/4
QE=√3t/2
∴S△BPQ=1/2BP×QE=1/2(3-t)×√3t/2=(3√3/4)t-(√3/4)t²
∴y=S△ABC-S△BPQ
=9√3/4-(3√3/4)t+(√3/4)t²
(2)y=2/3×S△ABC=2/3×9√3/4=3√3/2
∴9√3/4-(3√3/4)t+(√3/4)t²=3√3/2
整理:t²-3t+3=0
△=9-12=-3<0
∴无解即不存在
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