Question

如图在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC，CA于点D、E，且D是BC的中点。（1）求证：△ABC为

如图在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC，CA于点D、E，且D是BC的中点。（1）求证：△ABC为等边三角形（2）求DE的长（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，是△PBD≌△AED，若存在，请求出PB的长，若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)证明：连接AD
　　∵AB是⊙O的直径
　　∴∠ADB=90°
　　∵点D是BC的中点
　　∴AD是线段BC的垂直平分线
　　∴AB=AC
　　∵AB=BC
　　∴AB=BC=AC，
　　∴△ABC为等边三角形

(2)解：连接BE
　　∵AB是直径
　　∴∠AEB=90°
　　∴BE⊥AC
　　∵△ABC是等边三角形
　　∴AE=EC，即E为AC的中点
　　∵D是BC的中点
　　∴DE为△ABC的中位线
　　∴DE=AB/2=2/2=1

(3）)解：存在点P使△PBD≌△AED
　　由(1)(2)得：BD=ED
　　∵∠BAC=60°，DE∥AB
　　∴∠AED=120°
　　∵∠ABC=60°，
　　∴∠PBD=120°
　　∴∠PBD=∠AED
　　∵两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
　　∴当PB=AE=1时，△PBD≌△AED

Answer 2

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