Question

已知△ABC, AD⊥BC与D,AB+BD=AC+CD.求证：△ABC是等腰三角形

Answer 1

法1，AB-CD=AC-BD平方
AB*AB+CD*CD-2AB*CD=AC*AC+BD*BD-2AC*BD
即AB*AB-BD*BD-2AB*CD=AC*AC-CD*CD-2AC*BD
即AB*CD=AC*BD AB/AC=BD/CD ADB=ADC=90
所以ABD相似ACD B=C AB=AC得证
法2双向延长BC截取BE=AB CF=CA
即ED=DF 可证E=EAB=CAF=F AE=AF
所以AEB全等AFC AB=AC

Answer 2

对等式AB+BD=AC+CD两边同时平方，得
AB^2+2AB.BD+BD^2=AC^2+2AC.CD+CD^2
根据勾股定理；AB^2=AD^2+BD^2,
同理，AC^2=AD^2+CD^2;
将这两个式子带入第一个式子，得到
AD^2+2BD^2+2AB.BD=AD^2+2CD^2+2AC.CD
所以BD(BD+AB)=CD(CD+AC)
所以 BD=CD
以下容易得到AB=AC