Question

一道几何题，与圆有关令人毫无头绪

如图 AE交圆O于AB两点 DE交O于CD两点 ∠AOD=120° ∠BOC=40° 求∠E的度数

Answer 1

连接OE,
∵∠AOD+∠BOC+∠AOB+∠COD=360° =∠AOB+∠OAB+∠BOA+∠COD+∠OCD+∠ODC
∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC=∠AOD+∠BOC=120° +40° =160°

∵OA=OB,OC=OD

∴∠OAB=∠OBA,∠OCD=∠ODC

∴∠OBA+∠OCD=160°/2=80°=∠CEO+∠COE+∠BEO+∠BOE=∠E+∠BOC

∴∠E=80°-∠BOC=40°

Answer 2

解：
连接BD
∵∠AOD=120°
∴∠ABD=60°
∵∠BOC=40°
∴∠BDE=20°
∴∠E=∠ABD-∠BDE=60°-20°=40°

Answer 3

连接BD
劣弧AD的圆心角是∠AOD，圆周角是∠ABD，同弧圆周角为圆心角一半，故∠ABD=60°
同理，∠BDC=0.5×∠BOC=20°
三角形两内角之和等于第三角的外角，故∠E=∠ABD-∠BDC=40°
如果一开始不连接BD，也可连接AC，证明过程大同小异。

Answer 4

解：连接EO
∵AO,DO均为园的半径
∴AO=DO
又∵EO=EO
且易知角AOE=角DOE
所以综上
三角形AEO全等于三角形DOE
所以角BOE=角COE=20度
且三角形AOB为等腰三角形 角AOB=100度
所以角OAB=40度
所以角AEO=20度
所以角E=2X角AEO=40度

Answer 5

解 连接AC
∵∠AOD=120° ∴∠ACD=60°
又∠BOC=40° ∴∠CAE=20°
∵∠E=∠ACD-∠CAE ∴∠E=60°-20°=40°

Answer 6

连结AC ∠ACD＝120÷2＝60º ∠CAE＝40÷2＝20º
∠E＝∠ACD－∠CAE＝40º