Question

已知函数f(x)=logX=x+1/x-1+log2(x-1)+log2(p-x)(p>1).

问：f(x)是否存在最值？若存在，试把它求出来
题目修改如下：已知函数f(x)=log2^x+1/x-1+log2^(x-1)+log2^(p-x)(p>1)

Answer 1

f(x)=log2(x+1)/(x-1)+log2(x-1)+log2(p-x) 的定义域是（1，p)
=log2 [(x+1)／(x-1) ·（x－1）·（p—x）]
=log2[（x＋1）·（p—x）]

=log2[－x²＋（p—1）x＋p]

=log2﹛－[x－（p—1）／2]²＋（p＋1）²／4﹜
1、当（p—1）／2<1, 即 P＜3 时，f(x)递减

∴值域是﹙f(p)，f(1)﹚
∴无最值
2、当（p—1）／2≥1即p≥3时
∵（p—1）／2＜（p+1）／2 （区间中点﹚
∴值域是﹙f(p)，log2[（p＋1）²／4]]，

∴无最小值，最大值是2log2（p＋1）－2。

Answer 2

log2(p+1)^2-2

f(x)=log2(x+1)/(x-1)+log2(x-1)+log2(p-x) 的定义域是（1，p)
=log2 [(x+1)／(x-1) ·（x－1）·（p—x）]
=log2[（x＋1）·（p—x）]

=log2[－x²＋（p—1）x＋p]

=log2﹛－[x－（p—1）／2]²＋（p＋1）²／4﹜
1、当（p—1）／2<1, 即 P＜3 时，f(x)递减

∴值域是﹙f(p)，f(1)﹚
∴无最值
2、当（p—1）／2≥1即p≥3时
∵（p—1）／2＜（p+1）／2 （区间中点﹚
∴值域是﹙f(p)，log2[（p＋1）²／4]]，

∴无最小值，最大值是2log2（p＋1）－2