Question

一道高一数学必修一对数函数题目

可不可以详细一点，谢谢

Answer 1

令t=loga(x)，则x=a^t
于是有f(t)=a/(a^2-1)*(a^t-a^-t)
即函数f(x)=a/(a^2-1)*(a^x-a^-x)，显然其定义域为R

(1)因-1<1-m<1，即0<m<2
且-1<1-m^2<1，即-√2<m<√2
则0<m<√2（I）
依题有a/(a^2-1)*[a^(1-m)-a^(m-1)]+a/(a^2-1)*[a^(1-m^2)-a^(m^2-1)]<0
即a^(1-m)<a^(m-1)
当0<a<1时，则1-m>m-1，即m<1
当a>1时，则1-m<m-1，即m>1
结合（I）有结论：
当0<a<1时，实数m的集合为(0,1)
当a>1时，实数m的集合为(1,√2)

(2)依题有a/(a^2-1)*(a^x-a^-x)-4<0恒成立
即a/(a^2-1)*(a^x)^2-4a^x-a/(a^2-1)<0恒成立（注意到a^x>0）
令a^x=t，则a/(a^2-1)*t^2-4t-a/(a^2-1)<0恒成立（注意到t>0）
再令g(t)=a/(a^2-1)*t^2-4t-a/(a^2-1)，显然其开口不确定，对称轴t=2(a^2-1)/a

当0<a<1时，因x<2，则t>a^2
此时g(t)开口向下，对称轴t=2(a^2-1)/a<0，则g(t)在(a^2,+∞)上为减函数，显然不能保证g(t)<0在(a^2,+∞)上恒成立

当a>1时，因x<2，则0<t<a^2
此时g(t)开口向上，对称轴t=2(a^2-1)/a>0
要保证g(t)<0在(0,a^2)上恒成立，必有g(0)<0且g(a^2)<0
由-a/(a^2-1)<0，显然a>1时该不等式恒成立
由a/(a^2-1)*a^4-4a^2-a/(a^2-1)<0，即a^4-4a^3+4a-1<0
分解因式得(a^2-4a+1)(a^2-1)<0
显然上式等价于a^2-4a+1<0，结合a>1解得1<a<2+√3

所以使得f(x)-4<0恒成立的实数a的取值范围为(1,2+√3)