Question

已知函数f(x)=x的绝对值乘以（x-a)，a属于R

1，讨论f(x)的奇偶性
2，a小于等于0时，求函数f(x)的单调区间
3，在第二问的条件下，求函数f(x）的闭区间【-1,1/2】上的最大值

Answer 1

⑴f(x)=|x|(x-a)=x^2-ax x≥0
=-x^2+ax x＜0
a≠0 时 x＞0 -x＜0
f(-x)=-(-x)^2-ax=-x^2-ax≠±f(x)
∴非奇偶函数
a=0时f(x)=x^2 x≥0
=-x^2 x＜0
x＞0 -x＜0 f(-x)=-(-x)^2=-x^2=-f(x)
x＜0 -x＞0 f(-x)=(-x)^2=x^2=-(-x^2)=-f(x)
x=0 f(x)=0
f(x)是奇函数
⑵
a≤0
x≥0 f(x)=x^2-ax 抛物线开口向上 对称轴 x=- (-a/2)=a/2 ∴x≥0 f(x)是单增函数
x＜0 f(x)=-x^2+ax 抛物线开口向下 对称轴 x=- (a/(-2))=a/2
x≤a/2 f(x)=-x^2+ax 是单增函数
a/2＜x＜0 f(x)=-x^2+ax 是单减函数
综上单增区间 (－∞,a/2] [0,＋∞)
单减区间(a/2,0)
⑶[-1,1/2]
a/2≥-1 即-2≤a≤0时 x∈[-1,0)的最大值 f(a/2)=-a^2/4+a^2/2=a^2/4
x∈[0,1/2]的最大值 f(1/2)=1/4-a/2
∴x∈[-1,1/2]的最大值 max{a^2/4,1/4-a/2}
a/2＜-1 即a＜-2时 x∈[-1,0)的最大值 f(-1)=-1-a
x∈[0,1/2]的最大值 f(1/2)=1/4-a/2
∴x∈[-1,1/2]的最大值 max{-1-a,1/4-a/2}