Question

操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，

操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明．
（2）三角板绕点P旋转，是否能居为等腰三角形？若能，指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长)；若不能，请说明理由．
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB＝1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图④加以证明．

Answer 1

（1）PD=PE

连接PC易证△CDP≌△BEP

（2）楼主说的是△PBE莫？

①当E与C重合，D与A重合时，PE=CP=根号2

②E为CB中点，则PE∥AC且PE=二分之一AC=1

③BE=PB时，BE=PB=二分之一AB=根号2

（3）

Answer 2

解：（1）连接PC．
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=12∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE；

（2）共有四种情况：
①当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB；
②CE=2-2，此时PB=BE；
③当CE=1时，此时PE=BE；
④当E在CB的延长线上，且CE=2+2时，此时PB=EB；

（3）MD：ME=1：3．
过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H．
∴MH∥AC，MF∥BC．
∴四边形CFMH是平行四边形．
∵∠C=90°，
∴▱CFMH是矩形．
∴∠FMH=90°，MF=CH．
∵CHHB=
AMMB=
13，HB=MH，
∴MFMH=
13．
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH．
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MDF∽△MEH．
∴MDME=
MFMH=
13．

Answer 3

CE=0或（2+√2）或（2-√2）或1