Question

1³+2³+3³...+n³=｛n(n+1)/2｝² 为什么？？？

要证的话麻不麻烦啊 我只是高中水平啊

Answer 1

已知1+2+3......+n=n(n+1)/2
1²+2²+3²......+n²=n(n+1)(2n+1)/6
用和的四次方公式：(a+1)^4=a^4+4a^3+6a^2+4a+1
1^4=(0+1)^4=0^4+4x0^3+6x0^2+4x0+1
2^4=(1+1)^4=1^4+4x1^3+6x1^2+4x1+1
3^4=(2+1)^4=2^4+4x2^3+6x2^2+4x2+1
......
(n+1)^4 =n^4+4xn^3+6xn^2+4xn+1
全部相加。除最后一行外，等号左边的内容都与下一行第二个等号后边的第一项抵消。结果为：
(n+1)^4=4(1³+2³+3³...+n³)+6(1²+2²+3²......+n²)+4(1+2+3......+n)+(1+1+1+......+1)
(n+1)^4=4(1³+2³+3³...+n³)+6[n(n+1)(2n+1)/6]+4[n(n+1)/2]+n
4(1³+2³+3³...+n³)=(n+1)^4-6[n(n+1)(2n+1)/6]-4[n(n+1)/2]-n
4(1³+2³+3³...+n³)=(n+1)^4-n(n+1)(2n+1)-2[n(n+1)]-n
......
4(1³+2³+3³...+n³)=n²(n+1)²
1³+2³+3³...+n³=[n(n+1)/2]²

追问

太变态 这都些什么智商

追答

用和平方公式可以求出1+2+3......+n=n(n+1)/2
用和立方公式可以求出1²+2²+3²......+n²=n(n+1)(2n+1)/6
用和的四次方公式可以求出1³+2³+3³...+n³=[n(n+1)/2]²
......

Answer 2

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2