Question

已知函数f(x)=(2ax+a^2-1)/(x^2+1),其中a∈R，,（1）当a=1时,求曲线y=f(x)在原点处的切线方程

（2）求f(x)的单调区间（3）f(x)在【0，+无穷）上存在最大值和最小值，求a的取值范围
第三问

Answer 1

估计原题为f(x) = (2ax + a² -1)/(x²+1)
(1)
a = 1, f(x) = 2x/(x² +1)
f'(x) = [2(x²+1) -2x(2x)]/(x²+1) = 2(1 -x²)/(x²+1)
f'(0) = 2
在原点处的切线方程: y - 0 = f'(0)(x - 0) = 2x
y = 2x

(2)
(i) a = 0
f(x) = -1/(x² +1)
f'(x)= 2x/(x² +1)
x < 0: f'(x) < 0, 减函数
x >0: f'(x) > 0, 增函数

(ii) a ≠ 0
f'(x) = [2a(x² +1) - (2ax + a² -1)(2x)]/(x² +1)
= [-2ax² -2(a² -1)x+2a]/(x² +1)²
分母总为正，现在只考虑分子.
g(x) = -2ax² -2(a² -1)x+2a = -2a[x² + (a - 1/a)x -1]
= -2a(x + a)(x - 1/a) = 0
x1 = -a
x2 = 1/a
(a) a< 0:
g(x)为开口向上的抛物线
x > -a或x < 1/a时, f'(x) > 0, 增函数
1/a < x < -a时, f'(x) < 0, 减函数

(b) a > 0:
g(x)为开口向下的抛物线
1/a < x < -a时, 1/a < x < -a时,
x > -a或x < 1/a时, f'(x) < 0, 减函数

(3)
(i) a = 0时，f(x)只有最小值，不成立
(ii)要使f(x)在[0，+无穷)上存在最大值和最小值, 须x1, x2均在此区间内, 即二者同号，这显然不可能.