Question

求一极限：lim[x→0][ntan(1/n)]^n^2

百度上已有答案：http://zhidao.baidu.com/question/196534098.html

我想问的是：我令t=lim[ntan(1/n)]^n^2，然后左右取ln
lnt=lim[x→0]n^2ln[ntan(1/n)]
再令x=1/n,右边变成：

lim[x→0][lntanx-lnx]/x^2
最后右边得-1/6的错误结果，求解释.
本来传图片上来了 但不清晰，删了。感谢yueguangth5！你的方法不错，我得加紧学泰勒了。也感谢mscheng19!只能采纳一个人 ，所以就给先回答的了吧。

Answer 1

百度上给的答案太麻烦，这道题目可以在十秒内出答案。
不过先需要你理解
n趋向无穷时，1/n趋向于0；
这里我们 记住一个泰勒公式的前几项：
tanx=x+1/3*(x^3)+o(x^3);
于是tan(1/n)=1/n+1/3*((1/n)^3)+o((1/n)^3);
于是底就可以化简为（1+1/(3*n^2)）

底趋向于1，指数趋向于无穷，这是两个重要极限之一。于是可解。

再看你的解法，思想很好，转换为ln，
lim[x→0][lntanx-lnx]/x^2——这部也没有错误，结果算错了而已。
[lntanx-lnx]/x^2=[ln(tanx/x)]/x^2;
其中，tanx/x~1+1/3*(x^2)。于是ln(tanx/x)~1/3*(x^2)
极限等于1/3
不要忘记是取了ln，所以原极限=e^(1/3).

Answer 2

没有过程，不知道你是怎么得到-1/6的错误结果。
lim[x→0][lntanx-lnx]/x^2
＝ lim[x→0][sec^2(x)/tanx - 1/x]/(2x)
＝ lim[x→0][1/(sinx cosx) - 1/x]/(2x)
＝ lim[x→0][x - sinx cosx]/[(2x^2)sinx cosx]
＝ lim[x→0][x - 0.5sin2x ]/[(2x^2)sinx cosx]
＝ lim[x→0][1 - cos2x ]/(6x^2), 作sinx~x, cosx ~1 等量代换后再求导

＝ lim[x→0][2sin2x]/(12x)
＝ 1/3

Answer 3

lim (lntanx-lnx)/x^2 洛必达法则
=lim (sec^2x/tanx-1/x)/2x 通分化简
=lim (xsec^2x-tanx)/(2x^2tanx) 分母tanx等价于x，分母等价于2x^3；
分子=x(1+tan^2x)-tanx=x-tanx+xtan^2x
=lim (x-tanx)/2x^3+lim xtan^2x/(2x^3) 第一项再用洛必达法则

=lim (1-sec^2x)/6x^2+lim x^3/(2x^3)

=lim -tan^2x/6x^2+1/2
=1/3。
原极限为e^(1/3)。
不知道你是怎么计算的，将过程写出来才能检查你的错误啊。