Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，S为△ABC的面积

1）若4S=a^2+b^2-c^2,求∠C
2）若（4倍根号3）S=a^2+b^2+c^2.试判断△ABC的形状。

Answer 1

1）S=absinC/2
4S=2absinC=(a^2+b^2-c^2)=(2ab)[(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]=2abCosC
tanC=1 ∠C=45°

2）由cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab) 得c^2=a^2+b^2-2abcosC
（4√3）S=a^2+b^2+c^2

2√3abSinC=2(a^2+b^2)-2abcosC

a^2+b^2=ab(√3SinC+cosC)=2absin(C+30°)

注意到a^2+b^2≥2ab≥2absin(C+30°)
前者等式成立须a=b,后者等式成立时须sin(C+30°)=1或C=60°
a=b且C=60°，△ABC的形状为等边三角形