Question

如何证明一个函数是凹或凸函数？

例如：证明f（x）=x²+2/x+alnx是凹函数（当a≤0时）?

Answer 1

在函数可导的情况下,如果一阶导娄在区间内是连续增大的,它就是凹函数;
在图形上看就是"开口向上"
反过来,就是凸函数;
由于一阶导数连续增大,所以凹函数的二阶导数大于0;
由于一阶导数连续减小,所以凸函数的二阶导数小于0
凸函数就是:缓慢升高,快速降低;
凹函数就是:缓慢降低,快速升高

Answer 2

在区间D上f(x)是凹函数 <==> f''(x)>0
f(x)是凸函数 <==> f''(x)<0
f（x）=x²+2/x+alnx
定义域为(0,+∞)
f'(x)=2x-2/x²+a/x
f''(x)=2+4/x³-a/x²
∵a≤0 ∴-a≥0
又x>0
∴2+4/x³-a/x²>0
即f''(x)>0
∴f（x）=x²+2/x+alnx是凹函数

Answer 3

1，图像法 比如f(x)=ax^2+bx+c f(x)=1/x等
2. 导数法。可以用f'(x) 及f''(x)来判断。