Question

已知a〉0,b〉0,且a＋b＝1,求证: (a²+b²)/(ab+1) ≥2/5

已知a〉0,b〉0,且a＋b＝1,求证: (a²+b²)/(ab+1) ≥2/5

Answer 1

解：
a+b=1
两边同时平方得：
a²+b²+2ab=1
所以a²+b²=1-2ab
故(a²+b²)/(ab+1)
=(1-2ab)/(ab+1)
=(3-2ab-2)/(ab+1)
=3/(ab+1)-2
因为ab≤[(a+b)/2]²=1/4
所以3/(ab+1)-2≥3/(1/4+1)-2=12/5-2=2/5
即(a²+b²)/(ab+1)≥2/5

证毕。