Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，AE为∠CAB的平分线，AE交CD于点F,EG⊥AB于点F,连接FG

(1)求证，四边形CFGE是菱形
（2）若过点F作FH∥AB交BC于H,求证：BH=CE.
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Answer 1

1、∵AE为∠CAB的角平分线，且EC⊥AC(∠ACB=∠ACE=90°) ，EG⊥AB   
∴EC=EG（角平分线定理
又∵DC⊥AB， EG⊥AB
∴EG∥CD 

∴∠GEF=∠CFE 
∵∠CEA=90°-∠ACE=90°-∠EAG=∠AEG

 ∴∠CEF=∠CFE 
 ∴CE=CF 

即 CE=CF=EG
∵EG=CF 且EG∥CF 
∴四边形CFGE为平行四边形。

又∵CE=EF 

∴四边形EFGE为菱形
2、∵FH∥AB，CD⊥AB，EG⊥AB

∴∠CFH=∠CDB=90°，∠EGB=90°

∠CHF=∠EBG(同位角相等）

∴∠CFH=∠EGB

∵CF=EG

∴△CFH≌△EGB(AAS)

∴CH=BE

∴CE+EH=EH+BH

∴CE=BH