Question

若f(x)在〔0,1〕上有二阶导数，且f(1)=0，设F(x)=x^2f(x)，证明：在(0,1

内至少存在一点a，使F''(a)=0。
求详细解答，谢谢！

Answer 1

证明：

∵f(x)在[0,1]上有二阶导数。

∴f(x)及f'(x)在[0,1]上连续可导。

∴F(x)及F'(x)在[0,1]上也连续可导又f(0)=f(1)=0。

∴F(0)=0*f(0)=0, F(1)=f(1)=0。

由罗尔定理知在(0,1)内至少存在一点ξ1，使F'(ξ1)=0又F'(x)=f(x)+xf'(x)。

且f(0)=f(1)=0。

∴F'(0)=f(0)+0*f'(0)=0。

∴F'(0)=F'(ξ1)=0。

∴由罗尔定理知在(0,ξ1), 即(0,1)内至少存在一点m，使F''(m)=0。

Answer 2

证明：
∵f(x)在[0,1]上有二阶导数
∴f(x)及f'(x)在[0,1]上连续可导
∴F(x)及F'(x)在[0,1]上也连续可导

又f(0)=f(1)=0
∴F(0)=0*f(0)=0, F(1)=f(1)=0
由罗尔定理知
在(0,1)内至少存在一点ξ1，使F'(ξ1)=0

又F'(x)=f(x)+xf'(x)
且f(0)=f(1)=0
∴F'(0)=f(0)+0*f'(0)=0
∴F'(0)=F'(ξ1)=0
∴由罗尔定理知
在(0,ξ1), 即(0,1)内至少存在一点m，使F''(m)=0

证毕