Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）．②当x＞0时，f（x）＜0且f

已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）．②当x＞0时，f（x）＜0且f（1）=-2．两个条件，（1）求证：f（0）=0；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）判断函数f（x）的单调性；（4）解不等式f（x2-2x）-f（x）≥-8．

Answer 1

（1）证明：∵对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，则有f（0）=f（0）+f（0）；
∴f（0）=0；
（2）令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是定义域R上的奇函数；
（3）任取x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂，
则有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）是R上的减函数；
（4）∵f（x²-2x）-f（x）=f（x²-2x）+f（-x）=f（x²-3x）≥-8，
又-8=4f（1）=f（4），即f（x²-3x）≥f（4）；
且f（x）是R上的减函数；
∴x²-3x≤4，
解得-1≤x≤4；
∴不等式的解集为{x|-1≤x≤4}．