在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为12．过F1的直线交椭圆C于A，B两
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为12．过F1的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为8．过定点M（0，3）的直线l1...
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为12．过F1的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为8．过定点M（0，3）的直线l1与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．（Ⅰ） 求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l1的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．
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（Ⅰ）设椭圆的方程为
+
＝1(a＞b＞0)，离心率e＝
＝
，
△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|AF1|+|AF2|=4a=8，
解得a=2，c=1，则b2=a2-c2=3，
所以椭圆的方程为
+
＝1．
（Ⅱ）直线l1的方程为y=kx+3（k＞0），
由
，消去y并整理得（3+4k2）x2+24kx+24=0（*），
△=（24k）2-4×24×（3+4k2）＞0，解得k＞
，
设椭圆的弦GH的中点为N（x0，y0），
则“在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．”等价于“在x轴上是否存在点P（m，0），使得PN⊥l1”．
设G（x1，y1），H（x2，y2），由韦达定理得，x1+x2=?
，
所以x0=
=?
，∴y0=kx0+3═
，
∴N(?
，
)，kPN＝?
，
所以，?
?k＝?1，解得m＝?
(k＞
)．
m′(k)＝
＞
＞0，
所以，函数m＝?
(k＞
)在定义域(
，+∞)单调递增，m(
)＝?
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|AF1|+|AF2|=4a=8，
解得a=2，c=1，则b2=a2-c2=3，
所以椭圆的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）直线l1的方程为y=kx+3（k＞0），
由
|
△=（24k）2-4×24×（3+4k2）＞0，解得k＞
| ||
| 2 |
设椭圆的弦GH的中点为N（x0，y0），
则“在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．”等价于“在x轴上是否存在点P（m，0），使得PN⊥l1”．
设G（x1，y1），H（x2，y2），由韦达定理得，x1+x2=?
| 24k |
| 3+4k2 |
所以x0=
| x1+x2 |
| 2 |
| 12k |
| 3+4k2 |
| 9 |
| 3+4k2 |
∴N(?
| 12k |
| 3+4k2 |
| 9 |
| 3+4k2 |
| 9 |
| 12k+m(3+4k2) |
所以，?
| 9 |
| 12k+m(3+4k2) |
| 3k |
| 3+4k2 |
| ||
| 2 |
m′(k)＝
3(2k?
| ||||
| (3+4k2)2 |
3(
| ||||||
| (3+4k2)2 |
所以，函数m＝?
| 3k |
| 3+4k2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
|
