Question

若Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且S1、S2、S4成等比数列．（1）求数列S1、S2、S4的公比；（2

若Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且S1、S2、S4成等比数列．（1）求数列S1、S2、S4的公比；（2）若S2=4，求{an}的通项公式；（3）求数列{an?2n}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）设{a_n}的公差为d，由题意S22＝S1?S4，
（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d），∴d=2a₁，
设S₁、S₂、S₄的公比为q，
∴q＝

S2

S1

＝

2a1+d

a1

＝

4a1

a1

＝4 ．
（2）∵S₂=4，∴2a₁+d=4，
又d=2a₁，∴a₁=1．d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（3）an?2n=（2n-1）?2ⁿ，
Tn＝1?2+3?22+5?23+…+(2n?1)?2n，①
2T_n=1?2²+3?2³+…+（2n-1）?2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=1?2+2?2²+2?2³+…+2?2ⁿ-（2n-1）?2ⁿ⁺¹
=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）?2ⁿ⁺¹
=2+

2(22?2n?2)

1?2

-（2n-1）?2ⁿ⁺¹
=2+2（2ⁿ⁺¹-4）-（2n-1）?2ⁿ⁺¹，
∴Tn＝(2n?3)?2n+1+6．