Question

设函数g(x)=a^2x-3a^x+k,若对任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1/4],使得g(x1)=f(x0),求实数k的取值范围

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Answer 1

f(x)=log3[(1+ax)/(1-2x)]是奇函数，则有f(-x)=log3[(1-ax)/(1+2x)]

f(x)+f(-x)=log3[(1+ax)/(1-2x)*(1-ax)/(1+2x)]=0
(1-a^2x^2)/(1-4x^2)=1
a^2=4,又a不=-2,故有a=2
(2)g(x)=(2^x)^2-3*2^x+k=(2^x-3/2)^2+k-9/4
又0<x1<1,故有1<2^x1<2
所以，g(x1)的值域是A={g(x1)|g(x1)>=k-9/4}
f(x)=log3[(1+2x)/(1-2x)]
(1+2x)/(1-2x)=[-(1-2x)+2]/(1-2x)=-1+2/(1-2x)
0=<xo=<1/4,1/2=<1-2xo<=0,2/(1-2xo)>=4
故有(1+2x)/(1-2x)>=3
所以有f(xo)>=log3(3)=1
即f(x)的值域是B={ f(xo)|f(xo)>=1}
由题意得A是B的子集，则有k-9/4>=1
即K的范围是k>=13/4