Question

（2011?南京）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与

（2011?南京）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中线， ∴CD= AB， ∴CD=BD， ∴∠BCE=∠ABC， ∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°， ∴∠BEC=∠ACB， ∴△BCE∽△ACB， ∴E是△ABC的自相似点； （2） ①如图所示， 做法：①在∠ABC内，作∠CBD=∠A，； ②在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P， 则P为△ABC的自相似点； ②∵P是△ABC的内心， ∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB， ∵∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A， ∴∠A+2∠A+4∠A=180°， ∴∠A= ， ∴该三角形三个内角度数为： ， ， ．

略