Question

已知函数f(x)=x2+(2k-3)x+k2-7有两个零点 1﹚若函数的两个零点分别是-1和-2 ，求k的值; 2﹚若函数的两个零

是α和β，求α²+β²的取值范围

Answer 1

1﹚若函数的两个零点分别是-1和-2 则有-1+（-2）=-（2k-3) -3=-2k+3 k=3
2﹚判别式=（2k-3)^2-4x1x(k^2-7)=4k^2-12k+9-4k^2+28=-12k+37>0 k<37/12
α+β=-(2k-3) αβ=k^2-7
α²+β²=(α+β)²-2αβ=[-(2k-3)]^2-2(k^2-7)=4k^2-12k+9-2k^2+14
=2K^2-12k+23=2(K^2-6k)+23
=3(k-3)^2+14 (k<37/12)
α²+β²的取值范围为[14,+∞)

Answer 2

(1) 由韦达定理，得
-1+(-2)=-(2k-3)
-1×(-2)=k²-7
解得 k=3
(2)易得 ⊿=(2k-3)²-4(k²-7)>0，解得 k<37/12
又α+β=-(2k-3)
αβ=k²-7
所以 α²+β²=(α+β)²-2αβ=4k²-12k+9-2k²+14=3(k-2)²+11
因为k<37/12，从而当k=2时，有最小值为11，
α²+β²的取值范围是[11,+∞)

Answer 3

题目应该是f(x)=x²+（2k-3）x+k²-7吧！
解：（1）由两根之和为-b/a得：3-2k=-3,解得k=3
（2）由两根之和为-b/a，两根之积为c/a得：
α²+β²=（α+β）²-2αβ=（3-2k）²-2（k²-7）=2k²-12k+23 ①.
因为题目中方程有2个零点，所以b²-4ac大于0解得k小于37/12
将k的取值范围带入1式的α²+β²的范围为大于-2377/72