Question

已知f(x)满足f(x1×x2)=f(x1)+f(x2),且在x=1处可导,f'(1)=1,当x≠0 求f'(x)

Answer 1

f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)
令x1=1,则f(x2)=f(1)+f(x2)
∴f(1)=0
∴lim(△x→0)f(1+△x)/△x=f'(1)=1
又f(u)=f((u/v)*v)=f(u/v)+f(v),
∴f(u)-f(v)=f(u/v)
∴f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/△x
=lim(△x→0)f((x+△x)/x)/△x
=lim(△x→0)f(1+△x/x)/△x
=lim(△x→0)f(1+△x/x)/[(△x/x)*x]
=f'(1)*(1/x)
=1/x