Question

泰勒公式展开式 在0点的展开式不就是 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+... Fn(x0)/n! (x-x0)n次方 吗

为什么我用ln(1+x) 展开到4次吧
从0次展开 0次等于 0
1阶展开等于 x-x0/1+x x0=0 所以等于x
2阶展开等于 2阶就不知道怎么展开了 不是应该 ln(1+x)求两次导 然后乘以（x-x0） x0=0 ？
2阶展开不就是f''(x0)(x-x0)平方 吗 为什么我算f''(x0) 是等于-1呢 为什么等于-2？

Answer 1

ln(1+x) 在 x=0 处的展开式是 ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+.....+(-1)^(n+1)*x^n/n+......(-1<x<=1) 。

你那个导数求的不是很正确。
f '(x)=1/(1+x) ，
f ''(x)= -1/(1+x)^2 ，
f '''(x)=2/(1+x)^3 ，
。。。。。
f(n)(x)=(-1)^(n+1)*(n-1)!/(1+x)^n 。

追问

e.. 是的 我二阶导求导求错了。
另外问一下，如果遇到求f(0)的N阶导的时候
我是求前 4 5阶的导然后归纳法总结
还是用泰勒公式展开式比较好？

追答

通常，能求 n 阶导数的函数都是一些特殊的结构，只须求出前几阶导数，就可以归纳总结出 n 阶导数，无须用展开式。（是先有各阶导数，然后有展开式。没听说用展开式求 n 阶导数的，除非事先知道展开式）