Question

设函数f(x)的定义域R,且在定义域R上,总有f(x)=-f(x+2)

且当-1<x≤1时，f(x)=x^2+2 1 求当3<x<=5时，函数的解析式
2 判断函数在(3,5]上单调性，证明
答得好有奖励

Answer 1

解
f(x)=-f(x+2)
所以f(x+2)=-f(x+4)
f(x)=f(x+4)
所以f（x）是一4为周期的函数
当3<x<=5时
有-1<x-4<=1
此时有f(x-4)=(x-4)^2+2(x -4)=f(x)
当3<x<=5,f(x)=x^2-6x+8
对称轴为x=3
在（3，5]上为增函数
这里可以用导数证明更快,f'(x)=2x-6
当x属于(3,5]时,f'(x)>0
所以为增也可以用单调性定义证明

追问

为什么f(x+2)=-f(x+4)

追答

在定义域R上,总有f(x)=-f(x+2)
用x+2代替原等式中的x仍然成立

追问

当-1<x-4<=1 为什么有f(x-4)=(x-4)^2+2(x-4)=f(x)
把f(x-4)代入f(x)=x^2+2应该等于 f(x-4)=(x-4)^2+2=fx啊
对不起我数学有点不好麻烦再解释一下

追答

不好意思哦，看错题了，打得太快了，没有注意哦
f(x-4)=(x-4)^2+2=f(x)
当30
为增函数
也可以用单调性定义证明