Question

已知f(x)=4x+ax^2-2/3x^3(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数

(1)求实数a取值范围
(2)若函数f(x)的导函数f `(x)在【-1，1】上的最大值为4，试确定函数f(x)的单调区间
(3)若对于一切x∈[-1,1]，使得f(X) ≤f `(X0)恒成立，求X0的取值范围

Answer 1

（1）
f'(x)=4+2ax-2x²
∵f(x)在[-1,1]上为增函数
∴x∈[-1,1]时，f'(x)≥0恒成立
即4+2ax-2x²≥0
即x²-ax-2≤0恒成立
设g（x)=x²-ax-2
只需g(-1)≤0且g(1)≤0即可
∴a-1≤0且-a-1≤0
解得-1≤a≤1
(2)
f'(x)=4+2ax-2x²
=-2(x²-ax)+4
=-2(x-a/2)²+4+a²/2
∵-1≤a≤1
∴-1/2≤-a/2≤1/2
∴x=a/2∈[-1,1]时,
f'(x)取得最大值4+a²/2
由4+a²/2=4的a=0
f'(x)=4-2x²=-2(x+√2)(x-√2)
f'(x)>0解得-√2<x<√2
f'(x)<0解得x<-√2或x>√2
∴f(x)递增区间为（-√2，√2）
递减区间为(-∞,-√2),(√2,+∞)

(3)
∵f(x)在[-1,1]上递增
∴f(x)max=f(1)=a+10/3
根据题意f(x)max≤f'(x0)
∴f'(x0)≥a+10/3
∵4+2ax0-2x0²≥a+10/3
∴2x²0-2ax0+a-2/3≤0
Δ=4a²-8(a-2/3)=4a²-8a+16/3
=4(a-1)²+4/3>0
∴[2a-√(4a²-8a+16/3)]/4≤x0≤[2a+√(4a²-8a+16/3)]/4

（3）有些纠结

追问

(2)中是x在【-1，1】为什么 -1≤a≤1

追答

在（1）中用题干推出的-1≤a≤1呀
在（2）中可以直接用的