Question

已知数列的前n项和sn4n-1(1)求数列an的通项公式(2) 数列从第几项开始sn≥2015

Answer 1

求数列{an}的前n项和常用的方法有：

1.公式法：套用求和公式求得某数列{an}前n项和.要注意观察给定数列的构成规律，选择某公式求和.必要时，要把通项公式变形，使其便于发现规律.常用公式有：

①等差数列的和：Sn=n(a1+an)/2=na1+[n(n-1)d]/2.

②等比数列的和：Sn=[a1(1-qn)]/(1-q)(q≠1).

③正整数幂的和：12+22+32+…+n2=[n(n+1)(2n+1)]/6；

13+23+33+…+n3=[n(n+1)]2/4.

例如，求数列{n(+1)(n+2)}的前n项和.可以把通项an=n(n +1)(n+2)转化为an=n3+3n2+2n求和，或者把通项转化为an=6C3n+2求和.

2.归纳法：先求S1，S2，S3，S4，S5，…，观察其构成规律，然后归纳得Sn的结果，最后证明结论的正确性.

例如，求数列{n3}的前n项和.

由于S1=1，S2=9=[22×(2+1)2]/4，S3=36=[32×(3+1)2]/4，

归纳得：Sn=[n2(n+1)2]/4.

3.倒序相加法：这是在推导等差数列的前n项和时所用的方法.就是将Sn=a1+a2+…+an-1+an倒写成：Sn=an+an-1+…+a2+a1, 再将两式相加.

此法适用于倒序相加后，对应项相加的和都相等或对应项相加的和构成了易求和的数列.

4.错位相减法：这是在推导等比数列的前n项和时所用的方法.

此法适用于一个公差为d的等差数列{an}和一个公比为q(q≠1)的等比数列{bn}对应项相乘构成的数列{anbn}.

就是将数列{anbn}的前n项和Sn=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1+anbn的两边同乘以q，

得：qSn=qa1b1+qa2b2+…+qan-1bn-1+qanbn ,再将两式相减后，进行求和.

例如，求数列{(2n-1)·3n-1}的前n项和时可用此法.

5.拆项相消法：将通项拆成两项（或几项）的差，使求和过程中实现一些项正负项相互抵消.

例如，求数列{n·n!}的前n项和时,可将通项an=n·n!拆成an=(n+1)!-n!.

6.分组结合法：利用解析式的变形，对数列{an}进行适当的拆分或组合，使其成为若干个可以直接应用公式求和的数列.

例如，求数列{(-1)n(2n-1)}的前2n项和时，

S2n=-1+3-5+7-9+…-(2n-3)+(4n-1)

=(3-1)+(7-5)+…+[(4n-1)-(4n-3)]=2n.

7.导数法：构造一个函数，利用求函数导数的方法求的数列的和.

例如，求和Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1(x≠1)时，

先用等比数列的求和公式得x+x2+x3+…+xn=(x-xn+1)/(1-x)(x≠1),

再将此式两边同时对x求导数即可.