Question

有一道金融数学证明题

设0<d<1,试证：
a)(1-d)^t<1-dt,如果0<t<1
b)(1-d)^t=1-dt,如果t=1
c)(1-d)^t>1-dt,如果t>1

Answer 1

构造f(t)=a^t-(1-dt) (a=1-d,a∈(0,1))
f(t)=a^t-1+(1-a)t
f'(t)=df(t)/dt=Ina*a^t+(1-a)
f''(t)=(Ina)^2a^t恒大于0，所以f'(t)是单增的函数。
最小值是f'(0)=1-a>0,所以f(t)也是单增函数
当0<t<1时。
f(t)<f(1)=0
即a^t-(1-dt)<0
(1-d)^t<(1-dt) 0<t<1
当t=1,直接就看出来了

当t>1
所以f(t)>f(1)=0
a^t>(1-dt) 把a 换回来得证