Question

已知,如图在△ABC中,∠C=90,AC=BC,点D在BC上,AC+CD=AB,求证:AD是∠BAC的角平分线

Answer 1

证明：过D点作AB的垂线DM
M是垂足，
因为在△ABC中,∠C=90,AC=BC，即△ABC是等腰三角形
于是∠B=45°，再有DM垂直AB，即有∠DMB=90°
于是∠MDB=180°-∠B-∠DMB=180°-45°-90°=45°=∠B
从而得出△BDM也是等腰三角形
于是BM=DM
如果令AC=x,
那么就有BC=x,AB =√2x
DC=(AC+DC)-AC=AB-AC= √2x-x ①
BD=BC-DC=x-( √2x-x)=2x-√2x
DM=BD/√2=(2x-√2x)/√2=√2x-x ②
注意到①②当中
DC=√2x-x ,DM=√2x-x
于是，就是DC=DM
还有知道了∠DMA=∠DAC=90°，公共边AD=AD
于是△AMD≌△ACD
从而对应角相等
即∠DAM=∠DAC
就是AD是∠BAC的角平分线

Answer 2

证明：
依据角平分线的逆定理：
在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上

作辅助线段DE垂直于AB

∵AC=BC 且 ∠C=90°

∴∠B=∠BAC=45°

又∠BED=90°

∴BE=DE

根据勾股定理BD=√2DE

∵AC+CD=AB

∴BC+CD=AB即BD+2CD=AB

又勾股定理AB=√2BC

∴BD+2CD=√2BC=√2(BD+CD)

化简BD=√2CD

根据以上BD=√2DE

∴CD=DE

根据角平分线逆定理可知

AD是∠BAC的角平分线

Answer 3

延长AC至E，使CE＝CD，则AE＝AC＋CD＝AB，连接ED并延长交AB于F
∵∠ECD＝90°，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠FDB＝∠CDE＝45°
∵∠B＝45°，∴∠AFE＝90°，则△AFE也是等腰直角三角形，可证得△ABC≌△AEF，得AC＝AF，进一步可得DC＝DF，则AD是∠BAC的平分线。
具体的证明你自己完成吧

Answer 4

这道题不单是一道几何题，也需要你有一定的计算能力。解法如下：

过D作AB垂线，交AB与H。
三角形BDH为等腰直角三角形，因此DH=BH
由已知，AB=AC+CD

可推到得AC+CD=AH+HD

可见，只要证明AHD,ACD全等即可。
但需要一些数学计算，如下：

因为角H、C都是直角，有勾股定理知：
HB^2+HA^2=CD^2+CA^2
设HD=x，DC=m，AC=n
则勾股方程可化为：
x^2+(m+n-x)^2=m^2+n^2
整理为：
x^2-x(m+n)+mn=0
化简：
(x-m)(x-n)=0
可知，HD=m或n，但显然，HD小于BC=AC=n
所以HD=m=DC
再次运用勾股定理可算出AH=AC
因此两三角形SSS全等。

Answer 5

证明：延长AC至E，使CE=CD，连接DE
设AC为单位1，则AB=根号2
AC+CD=AB
所以CD=（根号2）-1
BD=BC-CD=1-（(根号2）-1）=2-根号2
CE=CD
在RT等腰△CDE中，角E=45°
所以DE=根号2倍的CD=（根号2）（（根号2）-1）=2-根号2
所以DE=BD
AE=AC+CE=AC+CD=AB
所以，△ABD全等于△ADE
角BAD=角DAE
即，AD为角平分线