Question

已知a1=1-1/2^2.a2=1-1/3^2,a3=1-1/4^2,............an=1-1/(n+1)^2（n为正整数），记sn=a1*a2*a3*..an则s

则s2011=？

Answer 1

由平方差公式a^2-b^2=(a-b)(a+b)可以知道
a1=1-1/2^2=(1 -1/2)(1 +1/2)=1/2 *3/2
a2=1-1/3^2=(1 -1/3)(1 +1/3)=2/3 *4/3
a3=1-1/4^2=(1 -1/4)(1 +1/4)=3/4 *5/4
……
an=1-1/(n+1)^2=[1 -1/(n+1)]*[1+1/(n+1)]=n/(n+1) * (n+2)/(n+1)
sn=a1*a2*a3*…*an

很显然可以注意到，
每个a都被分解为两个分数的乘积，
而每一项的第二个分数 与之后一项的第一个分数的乘积都是1，
比如3/2*2/3，4/3*3/4，

所以
sn
=1/2 *3/2*2/3 *4/3*3/4 *5/4 *…*n/(n+1) * (n+2)/(n+1)
=1/2 *(3/2*2/3) *(4/3*3/4)* …[(n+1)/n *n/(n+1)] * (n+2)/(n+1)
=1/2 * (n+2)/(n+1)
=(n+2) /(2n+2)

故s2011=(2011+2)/(2*2011+2)=2013/4024

Answer 2

an=1-1/(n+1)²
=[(n+1)^2-1]/(n+1)²
=n(n+2)/(n+1)²

Sn=[(1x3)/2²]*[(2x4)/3²]*……*[n(n+2)/(n+1)²]
=(n+2)/2(n+1)
=(n+2)/(2n+2)

S2011=(2011+2)/(4022+2)
=2013/4024