Question

如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15，求

1）此圆的半径（2）图中阴影部分面积

Answer 1

已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，
则AB=CD,∠ABC=∠C,,，∠BAD=∠ADC
因为∠BAD=120°
所以,,∠BAD=∠ADC=120°，,∠ABC=∠C=60°
因为BD平分∠ABC
所以,∠ABD=∠DBC=30°
所以∠BDC=90°
所以BC=2CD
又AD∥BC，
所以,∠ADB=∠DBC=30°
所以,∠ADB=∠ABD
所以AD=AB=CD=1/2BC
四边形ABCD的周长为15
所以AD=AB=CD=3，BC=6
因为∠BDC=90°
所以BC就是直径
所以半径等于3

BC 的中点就是圆心O
连接AO、DO
三角形AOD是等边三角形，边长是3
∠AOD=60°
图中阴影部分面积=1/6π*3^2-1/2*3*(3/2)根号3=3π/2-(9根号3）/4

Answer 2

解：①∵BC为直径
（同旁内角互补，∠CBD＝∠ABD＝½CBA＝½60º＝30º；优弧、劣弧上的圆周角互补∠DCB＝60º）；
弦AB＝AD＝DC（同弧上的圆周角相等，等弧对等弦）＝½BC＝半径（30º所对直角边等于斜边一半）；
∴半径＝15／5＝3。
②阴影面积＝⅓（半圆面积－等腰梯形面积）＝⅓｛½9∏－½（3＋6）3sin60º}
＝3∏／2－9√3／4＝0.812775。