Question

求由向量α1,α2生成的子空间L(α1,α2)与β1,β2生成的子空间L(β1,β2)的交与和的基与维数

α1=(1,2,1,0) α2=(-1,1,1,1) β1=(2,-1,0,1) β2=(1,-1,3,7)

Answer 1

由向量α1,α2生成的子空间：x1α1+x2α2=x1(1,2,1,0)+x2(-1,1,1,1)=(x1-x2,2x1+x2,x1+x2,x2)
由向量β1,β2生成的子空间：y1β1+y2β2=y1(2,-1,0,1)+y2(1,-1,3,7)=(2y1+y2,-y1-y2,3y2,y1+7y2)
(1 -1 -2 -1) (x1) (0)
(2 1 1 1) (x2) = (0)
(1 1 0 -3) (y1) (0)
(0 1 -1 -7) (y2) (0)
解得一个基础解系：（-1，4，-3，1）
向量（-5，2，3，4）就是交的基，维数是1.
1 2 1 0
-1 1 1 1
2 -1 0 1
1 -1 3 7

化为标准型为：

1 0 0 0
0 1 0 -1
0 0 1 2
0 0 0 0

∴（1 0 0 0），（ 0 1 0 -1），（0 0 1 2）就是和的基，维数是3.