Question

已知奇函数f(x)=2^x+a×2^(-x),x∈(-1,1) （1）求实数a的值（2）判断F(X )在（-1,1）上的单调性并进行证明

(3)若函数f（x)满足f(1-m)+f(1-2m)<0,求实数m的取值范围

Answer 1

(1) f(0)=1+a=0,所以a=-1
(2) f(x)=2^x-2^(-x)在(-1,1)上单调递增（证明略）
(3) f(1-m)<-f(1-2m)=f(2m-1)
-1<1-m<1且-1<1-2m<1且1-m<2m-1
得2/3<m<2

Answer 2

0属于定义域，则f(0)=0，
f(0)=1+a=0
得：a=-1
a=-1时，经检验，f(x)=2^x-2^(-x)是奇函数
所以，a=-1

令-1<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)=2^x1-2^(-x1)-2^x2+2^(-x2)
=2^x1-2^x2+(2^x1-2^x2)/2^(x1+x2)
=(2^x1-2^x2)[2^(x1+x2)+1]/2^(x1+x2)
因为-1<x1<x2<1，所以，2^x1-2^x2<0，2^(x1+x2)+1>0，2^(x1+x2)>0
所以，f(x1)-f(x2)<0
即-1<x1<x2<1时，有：f(x1)<f(x2)
所以，f(x)在（-1,1）上递增

f(1-m)+f(1-2m)<0
f(1-m)<-f(1-2m)
因为f(x)是奇函数，所以：-f(1-2m)=f(2m-1)
所以，不等式化为：f(1-m)<f(2m-1)
因为f(x)是定义在（-1，1）上的增函数
所以有：
-1<1-m<1，得：0<m<2；
-1<2m-1<1，得：0<m<1；
1-m<2m-1，得：m>2/3；
综上，m的取值范围是：2/3<m<1

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 3

（1）由f(0)=0,得a=-1
（2）由f（x）'>0,单调递增
（3）-1<1-m<1且-1,1-2m<1,得0<m<1
f(1-m)<-f(1-2m)=f(2m-1)
由（2）知单调递增，则1-m《2m-1
得2/3<m<1