Question

设函数f(x)=|x+a|－|x-4|,x属于R. (1)当a=1时，解不等式f(x)<2; (2)若关于x的不等式f(x) 小于等于 5...

设函数f(x)=|x+a|－|x-4|,x属于R.
(1)当a=1时，解不等式f(x)<2;
(2)若关于x的不等式f(x) 小于等于 5－｜a＋1| 恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

解： 当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-4|
则f(x)＜2 即 |x+1|-|x-4|＜2
分三段进行：
①当x≤-1时， 原不等式即 -(x+1)-[-(x-4)]＜2
整理得到：-5＜2 恒成立，所以x≤-1
②当-1＜x≤4时， 原不等式即 (x+1)-[-(x-4)]＜2
整理得到：2x＜5 解得 x＜5/2
结合-1＜x≤4得到：-1＜x＜5/2
③当x＞4时， 原不等式即 (x+1)-(x-4)＜2
整理得到：5＜2 无解
综合①②③得到：x＜5/2
解集为{x|x＜5/2}

|x+a|-|x-4| 小于等于 5－｜a＋1| 恒成立

f(x)=|x+a|-|x-4|
数轴上
|x+a|表示x点到（-a)点的距离
|x-4|表示x点到4 点的距离
当-a>4，即a<-4 时，x≤4 ,f(x)max=-a-4
-a-4≤5-(a+1) ==>-4≤4 成立
当-a=4,a=-4 时，f(x)=0 ≤0成立
当-a<4,即a>-4 时，
x≥4, f(x)max=4+a
4+a≤5-(a+1) ==> a≤ 0 ∴-4<a≤0
综上所述，符合条件的a的取值范围
是a≤0