Question

已知点P为椭圆x²/25+y²/9=1上一点,点F1,F2为椭圆的两交点 当PF1⊥PF2时,求三角形PF1F2的面积

Answer 1

因为椭圆方程x²/25+y²/9=1
可转化为
x=5cost
y=3sint
则点P坐标是(5cost,3sint)
c^2=a^2-c^2=25-9=16
c=4
所以焦点坐标是(-4,0)(4,0)
所以
Kpf1=(3sint-0)/(5cost+4)
kpf2=(3sint-0)/(5cost-4)
因为PF1⊥PF2
则
3sint/(5cost+4)*3sint/(5cost-4)=-1
9sin^2 t=-(25cos^2 t-16)=16-25cos^2 t=16-25(1-sin^2 t)=16-25+25sin^2 t
16sin^2 t=9
sin^2 t=9/16
sint=±3/4
所以点P的纵坐标是±9/4 (别犯了，有了纵坐标就够了，别求出横坐标，没用)
所以
S三角形PF1F2=1/2*F1F2*|yp|
=1/2*8*|±9/4|=1/2*8*9/4=9

Answer 2

a²=25 ，b²=9
可得a=5， c= 4
PF1+PF2= 2a=10

设 PF1=x，PF2=10-x
当PF1⊥PF2时

8²= x²+（10-x）²
2x²-20x+36=0
x²-10x+18=0
10x-x²=18
又 SPF1F2= 1/2* PF1*PF2= 1/2 *x*(10-x)=1/2 (10x-x²)=9