Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的一条准线方程为l:x=2,离心率为e=√2/2,过椭圆的下

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一条准线方程l:x=2，离心率e=二分之根号二，过椭圆的下顶点B(0,-b)任作直线l1与椭圆交于另一点P，与准线l交于点Q。
（1）求椭圆的标准方程；（2）若BP=2PQ，求直线l1的方程；（3）以BQ为直径的圆与椭圆及准线l分别交于点M（异于点B）、N，问：BQ垂直于MN是否成立？若成立，求出所有满足条件的直线l1的方程；若不成立，请说明理由。

Answer 1

准线方程：x=a²/c=2
离心率：e=c/a=√2/2

解得：a=√2,c=1,解得:b²=a²-c²=2-1=1
(1)椭圆的标准方程：x²/2+y²=1

(2)BP=2PQ,设Q点坐标为(x,y),P(x1,y1),B点为(0,-1)
x1/x=2/3
(y1+1)/(y+1)=2/3

x1=2/3x,y1=2/3(y+1)-1 (1)
P点代入椭圆：x1²/2+y1²=1 (2)

把(1)代入 (2)

(2/3x)²/2+(2/3(y+1)-1)²=1
当准线x=2时，整理得:y²-y=0
解得：y=0,y=1

因此有两条直线，分别过(0,-1)(2,1)和(0,-1)(2,0)
两条直线方程：y=x-1和y=1/2x-1

(3)因为有两条直线，分别考虑
首先 y=x-1，此时，以(0,-1)(2,1)两点做圆，圆心为 (1,0),半径r=√2
则此圆方程为：(x-1)²+y²=2
分别与椭圆方程和准线方联立，去掉B,Q点，得出别外一个交点：
M为(0,1),N为(2,-1)
MN的斜率为：k1=(1+1)/(0-2)=-1/2
BQ斜率为k2=2，
因 k1*k2=-1，所以BQ，MN垂直。

当另一条直线：y=1/2x-1时，过(0，-1) （2，0）圆 ，圆心(1,-1/2),r=√5/2
圆方程(x-1)²+(y+1/2)²=5/4

得M(1.119,0.612),N(2,-1)
MN斜率：k1=-1.829
BQ斜率：k2=1/2

K1*k2=-0.915，约等于-1,近似垂直。

Answer 2

不成立

追问

你玩我呢吧，不成立也得给个理由吧