Question

在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC

在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC
（1）求cosA的值
（2）若a=2√3，cosB+cosC=2√3/3，求边c.

Answer 1

（1）由余弦定理可知2accosB=a^2+c^2-b^2；2abcosc=a^2+b^2-c^2；
代入3acosA=ccosB+bcosC；
得cosA=1/3；
（2）∵cosA=1/3
∴sinA=2根号2/3
cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=-1/3cosC+2根号2/3sinC ③
又已知 cosB+cosC=2根号3/3 代入 ③
cosC+根号2sinC=根号3，与cos^2C+sin^2C=1联立
解得 sinC=根号6/3
已知 a=1
正弦定理：c=asinC/sinA=根号6/3除以2根号2/3=根号3/2

Answer 2

（1）.根据正弦定理，3cosAsinA=sinCcosB+sinBcosC=sin(C+B)=sinA,所以cosA=1/3
（2）.cosB+cosC=cos(180°-A-C)+cosC=2/3cosC+2√2/3sinC=2√3/3,化简得
cosC+√2sinC=√3，在根据cos²C+sin²C=1，得到cosC=√3/3,sinC=2√3/3，
又因为a/sinA=c/sinC。最后算得c=3√2