Question

大一线性代数题，救命啊。

举反例说名“若A²=0，则A＝0”和“若A²＝A，则A＝0或A＝E”，“若AX＝AY，且A≠0，则X＝Y”这三个命题是错误的。

Answer 1

1.
A= 0 1
0 0

2.
A= 1 0
1 0

3.A=1 0
0 0
X=1 0
0 1
Y=1 0
0 0

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前两个例子，你如能知道
当r(A)=1时，A^n=L^n-1A 其中L=tr(A) 则很好举。只要让A的秩是1，同时对角线元素和为0或1就可以分别构造1,2题所需矩阵
第三个例子可以这样考虑
AX=AY移项得到A(X-Y)=0
看出齐次方程组Ax=0
需要A不为0，X不等于Y，也就是方程组系数矩阵不为0，有非零解。
考虑构造A的秩为1，并且把X-Y构造成一个非零解

Answer 2

1. A=[1 1; -1 -1] A^2=0,但A≠0
2. A=[0 0; 0 1] A²＝A 但 A≠0 A≠E
3.