Question

已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0。

Answer 1

因：a³+b³+ab－a²-b²=0
（
a³+b³）-（a²-ab+b²）=0
（a+b）（a²-ab+b²）-（a²-ab+b²）=0
（a²-ab+b²）（a+b-1）=0
又因：ab≠0，（即a≠0，b≠0），所以：a²+b²≥2ab
即：a²-ab+b²≠0
所以：a+b-1=0
a+b=1
即：
a+b=1的充要条件是a³+b³+ab－a²-b²=0。

Answer 2

a³+b³+ab-a²-b²
=
(a+b)(a²+b²-ab)+ab-a²-b²
=
(a+b-1)(a²+b²-ab)
=
(a+b-1)[(a-b/2)²+(3/4)b²]
当
a³+b³+ab-a²-b²
=
0
时，
可得：(a+b-1)[(a-b/2)²+(3/4)b²]
=
0
。
已知，ab≠0
，可得：a≠0
且
b≠0
，
所以，(a-b/2)²≥0
，(3/4)b²＞0
，
可得：(a-b/2)²+(3/4)b²
＞0
，
所以，只能是
a+b-1
=
0
，即：a+b=1
；
而且当
a+b=1
时，显然有：a³+b³+ab-a²-b²
=
0
，
综上可得：当ab≠0时，a+b=1
的充要条件是
a³+b³+ab-a²-b²=0
。

Answer 3

必要性：由a+b=1推出a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2
由a+b=1有上式=0
充分性：由a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0推出a+b=1
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2
=(a^2-ab+b^2)(a+b-1)
=(a+b-1)[(a-b/2)^2+3b^2/4]=0
因为ab≠0，所以a≠0,b≠0,所以(a-b/2)^2+3b^2/4>0
所以a+b-1=0,a+b=1

Answer 4

证明：
必要性：由a+b=1推出a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2
由a+b=1有上式=0
充分性：由a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0推出a+b=1
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-a^2+ab-b^2
=(a^2-ab+b^2)(a+b-1)
=(a+b-1)[(a-b/2)^2+3b^2/4]=0
因为ab≠0，所以a≠0,b≠0,所以(a-b/2)^2+3b^2/4>0
所以a+b-1=0,a+b=1