Question

若O是△ABC内一点，求证S△OBC·OA+S△OCA·OB+S△OAB·OC=0

Answer 1

这个问题不是很难，但是要讲清楚不是很容易。我跟你将一下吧：你先画一个三角形ABC,中间画一个点O连接OA OB OC。
然后记角BOC=a,角AOB=c,角AOC=b。

S三角形OBC=|OB|*|OC|*sina/2
S三角形OCA=|OA|*|OC|*sinb/2
S三角形OBA=|OB|*|OA|*sinc/2

记向量S三角形OBC·向量OA=向量OA*
S三角形OCA·向量OB=向量OB*
S三角形OBC·向量OC=向量OC*

好了，在图上，把OB沿OA移动到A点，将OC沿OC直线C点移动到O点，现在要证明OA*OB*OC*能组成一个三角形。

|OB*|/|OA*|=sinb/sina=sin(pi-b)/sin(pi-a)
在注意到OB*对的角就是pi-b,OA*对的角就是pi-a。
符合正玄定理，其他的两组也能类似得到，证明了OA*OB*OC*能组成一个三角形。

综上，S三角形OBC·向量OA+S三角形OCA·向量OB+S三角形OBC·向量OC=0向量

Answer 2

证明如下：