Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB.D为AB的中点.将三角板的直角顶点与点D重合.将三角板绕点D旋转.

使三角板的两直角边分别与线段AC、BC分别交于E、F
（1）随着三角板的旋转，四边形CFDE的面积是否发生变化，说明理由
（2）若AC=a，求△DEF周长的最小值

Answer 1

1、S四边形CFDE＝S△ABC/2
证明：连接CD
∵∠ACB＝90,CA＝CB
∴∠A＝∠B＝45
∵D是AB的中点
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB/2＝45,CD⊥AB （三线合一），AD＝BD＝CD （直角三角形中线特性）
∴∠A＝∠BCD，∠ADE+∠CDE＝90
∵∠EDF＝90
∴∠CDF+∠CDE＝90
∴∠CDF＝∠ADE
∴△CDF≌△ADE （ASA）
∴S△CDF＝S△ADE
又∵D是AB的中点
∴S△ADC＝S△ABC/2
∴S四边形CFDE＝S△CDF+S△CDE＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC＝S△ABC/2