Question

已知函数f（x）=sinωxcosωx+sin2ωx的最小正周期为π，（Ⅰ）求f...

已知函数f（x）=sinωxcosωx+sin2ωx的最小正周期为π， （Ⅰ）求f(π4)的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间； （Ⅲ）若x∈[0，π2]，求f（x）的最大值及相应的x值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，得
函数f（x）=sinωxcosωx+sin2ωx=12sin2ωx-12cos2ωx+12=22sin（2ωx-π4）+12，
函数f（x）的最小正周期为π，2π2ω=π，ω=1
f（x）=22sin（2x-π4）+12．
f(π4)=22sin（2×π4-π4）+12=1．
（II）∵由-π2 +2kπ≤2x-π4≤π2+2kπ，k∈Z，解得-π8 +kπ≤x≤3π8+kπ，k∈Z
∴函数f（x）的单调递增区间：[-π8 +kπ，3π8+kπ]，k∈Z．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=22sin（2x-π4）+12．
由x∈[0，π2]，得-π4≤2x-π4≤3π4
∴当2x-π4=π2，即x=3π8时，函数f（x）有最大值是12+22．