Question

直线L：y＝kx＋1与双曲线C：2x²—y²＝1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围

算出△＝16—4k²＞0∴—2＜k＜2后接下去还要考虑什么？

Answer 1

直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B
这说明方程组：
y=kx+1
2x^2-y^2=1
中x有2个不相等的正数根。
即：2x^2 - (kx+1)^2 = 1 有2个不等的正数根，整理一下：
(2-k^2)x^2 - 2kx - 2 = 0

因此：
x1 + x2 = 2k/(2-k^2) > 0 ……（1）
且 x1 * x2 = -2/(2-k^2) > 0 ……（2）
且 △ = (-2k)^2 + 8(2-k^2) = 16-4k^2 > 0 ……（3）

由（2），得：k^2 > 2
由（3），得：k^2 < 4
由（1）÷（2）得：k<0
所以，k的范围为：-2<k<-√2

Answer 2

将y=kx+1代入2x²-y²=1中得：
2x²-(kx+1)²=1
2x²-k²x²-2kx-1=1
(2-k²)x²-2kx-2=0
∵直线和双曲线有两个交点
∴方程有两个实根
∴△=(-2k)²-4*(2-k²)*(-2)=-4k²+16>0
∴-2<k<2

2-k²≠0
k²≠2
k≠±√2

综上所述得：
k∈(-2，-√2)∪(-√2，√2)∪(√2，2)