Question

∫[0~x](x^2-t^2)f(t)dt ，对X求导，具体怎么做？

原问题是这样的：
设 f(x) 有连续导数，且f(0)=0，f'(0)≠0，F(x)= ∫[0~x](x^2-t^2)f(t)dt，当x→0时，F'(x)与x^k是同阶无穷小，求k.

Answer 1

令F(x)=∫[0~x](x^2-t^2)f(t)dt

=∫[0~x]x²f(t)dt-∫[0~x]t²f(t)dt

=x²∫[0~x]f(t)dt-∫[0~x]t²f(t)dt

所以

F '(x)=2x∫[0~x]f(t)dt+x²f(x)dx-x²f(x)dx

=2x∫[0~x]f(t)dt

扩展资料：

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。

Answer 2

令F(x)=∫[0~x](x^2-t^2)f(t)dt

=∫[0~x]x²f(t)dt-∫[0~x]t²f(t)dt

=x²∫[0~x]f(t)dt-∫[0~x]t²f(t)dt

所以F '(x)=2x∫[0~x]f(t)dt+x²f(x)dx-x²f(x)dx

=2x∫[0~x]f(t)dt

扩展资料

某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

求极限基本方法有

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化；

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

4、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

Answer 3

解：请看下面过程：