Question

高中数学，三角函数 已知A,B,C分别是△ABC三边a,b,c所对应的内角,且满足2sinA=√3sinC-sinB, 求角A的范围

若A取最大值B=π/6.且BC边上的中线AM=√7，求此时△ABC的面积

Answer 1

已知 2sinA=√3sinC-sinB，将sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC代入：
2sinA=√3sinC-sinAcosC-cosAsinC；
分离A、C：sinA/(√3-cosA)=sinC/(2+cosC)；①
以1/m代替上式，由角C的存在性找出1/m的取值限制，再由m推求对A的取值限制，这样就能满足各种要求；
由sinC/(2+cosC)=1/m→msinC=2+cosC→m²sin²C=4+4cosC+cos²C→(1+m²)cos²C+4cosC+4-m²=0；
若三角形存在，即C存在，上列关于cosC的二次方程有实数解，根的判别式不小于0：
4²-4*(1+m²)(4-m²)≧0 → m²-3≧0 → m≧√3；
重回①式：sinA/(√3-cosA)≦1/√3 → √3sinA≦√3-cosA → 3sin²A≦3-2√3cosA+cos²A；
消去正弦函数：4cos²A-2√3cosA≦0，解得：0≦cosA≦1/2，A=60°~90°；

若A=90°，B=π/6，BC边上的中线AM=√7，则此直角三角形斜边BC=2AM=2√7，短边AC=√7，中直角边AB=√21，
S△ABC=AC*AB/2=√7*√21/2=3.5√3；